Đại số tuyến tính - Vector

Trước khi đi sâu vào đại số tuyến tính, việc đầu tiên chúng ta cần làm là nắm được về vector, chúng thực sự hữu ích cho chúng ta trong việc giải quyết những vấn đề đại số tuyến tính. Hiểu một cách đơn giản:

Vector chính là một dãy số hay phần tử một chiều có thứ tự mà có thể viết ngang (vector dòng) hay dọc (vector cột).

Hoặc

Vector là một danh sách có thứ tự các con số (số thực), được dùng để biểu diễn dữ liệu hoặc đặc trưng (feature) trong không gian nhiều chiều.

Mục tiêu bài học

Trong bài học này, bạn sẽ tìm hiểu liên hệ giữa đại số tuyến tính với Machine Learning và Data Science (khoa học dữ liệu). Sau đó, chúng ta sẽ kết thúc phần với giới thiệu ban đầu về vector. Xuyên suốt bài học, chúng ta tập trung vào việc phát triển trực giác toán học của bạn, chứ không phải luyện tập thông qua tính toán đại số hoặc làm các ví dụ dài dòng trên lý thuyết.

Lý giải mối liên hệ giữa machine learning, vectơ và ma trận
Học cách sử dụng phép thay thế / loại bỏ để giải một bài toán đại số tuyến tính khá dễ dàng.
Tìm hiểu cách cộng và nhân vectơ với một số vô hướng.

Giới thiệu về đại số tuyến tính

Trong video đầu tiên này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các bài toán mà chúng ta muốn giải quyết, và chỉ ra đại số tuyến tính là gì và nó có thể giúp chúng ta giải quyết các bài toán như thế nào thông qua 2 ví dụ: Bài toán giá cả và bài toán tối ưu.

Video: Động lực cho đại số tuyến tính

Tổng quan về vector

Vector chính là một dãy số hay phần tử một chiều có thứ tự mà có thể viết ngang (vector dòng) hay dọc (vector cột).

Hoặc

Vector là một danh sách có thứ tự các con số (số thực), được dùng để biểu diễn dữ liệu hoặc đặc trưng (feature) trong không gian nhiều chiều.

Cách hiểu trực quan:

Nếu bạn có 1 điểm trong không gian 2 chiều (2D), ví dụ: v=[3,4]

→ Đây là một vector: nó cho biết điểm đó nằm 3 đơn vị theo trục X và 4 đơn vị theo trục Y.
→ Ta có thể vẽ nó như một mũi tên đi từ gốc tọa độ (0,0) tới điểm (3,4).
Trong machine learning, vector có thể dài hơn nhiều:
Ví dụ, một vector có 100 phần tử có thể biểu diễn:
- 100 đặc trưng (features) của một mẫu dữ liệu,
- hoặc trọng số (weights) của một mô hình.

Chúng ta sẽ tìm hiểu về vector thông qua bài toán tinh chỉnh (fitting) các tham số để tìm ra được một đồ thị biểu diễn tính chất và xu hướng của dữ liệu chính xác nhất.

Video: Định nghĩa vector

Tiếp theo, chúng ta cùng tìm hiểu những phép toán cơ bản có thể thực hiện với vector:

Phép Cộng/Trừ: thực hiện bằng cách cộng/trừ từng phần tử tương ứng.
$\mathbf{a} + \mathbf{b} = [a_1 + b_1, \; a_2 + b_2, \; \dots, \; a_n + b_n]$
$\mathbf{a} - \mathbf{b} = [a_1 - b_1, \; a_2 - b_2, \; \dots, \; a_n - b_n]$
💡 Ví dụ:
$\mathbf{a} = [2, 5, -1]$
$\mathbf{b} = [3, -2, 4]$
$\Rightarrow a + b = [2 + 3, 5 + (- 2), - 1 + 4] = [5, 3, 3]$
$\Rightarrow a - b = [2, 5, - 1] - [3, - 2, 4] = [2 - 3, 5 - (- 2), - 1 - 4] = [- 1, 7, - 5]$
👉 Hiểu đơn giản: cộng từng “thành phần” của vector lại.
Phép Nhân với một số vô hướng: Nhân một số vô hướng 𝑘 với một vector, ta nhân từng phần tử của vector với 𝑘. $k \times a = [k \times a_{1}, k \times a_{2}, \dots, k \times a_{n}]$
💡 Ví dụ:
$a = [2, - 3, 4]$
$k = 3$
$\Rightarrow 3 \times a = [3 \times 2, 3 \times (- 3), 3 \times 4] = [6, - 9, 12]$
👉 Hiểu trực quan: nhân với số dương thì “kéo dài” vector ra; nhân với số âm thì “đảo hướng” nó lại.

Lưu ý: là các vector phải có cùng số chiều.

Chúng ta cũng sẽ làm quen với khái niệm vector cơ sở - vector được sử dụng để định nghĩa nên các hệ tọa độ.

Video: Phép toán cơ bản trên vector

Tính toán nâng cao trên vector

Sau khi đã đi qua các phép tính cơ bản, chúng ta tiếp tục tìm hiểu về 2 phép toán vector: Modulus (chiều dài), hay còn gọi là kích thước của một vector và inner product (tích chấm), hay còn gọi là tích chiếu hoặc tích vô hướng giữa 2 vectors. Tích vô hướng là một trong những ý tưởng đẹp nhất và tuyệt vời nhất của đại số tuyến tính, chứa đựng rất nhiều hàm ý và ứng dụng bên trong.

Modulus (Chiều dài / Kích thước của vector)
Còn gọi là độ lớn (Magnitude) hay chuẩn (Norm) của vector.
Với vector: v=[v1,v2,…,vn]
Chiều dài (modulus) của nó là: ∥v∥=v12+v22+⋯+vn2
💡 Ví dụ:
v=[3,4]
∥v∥=32+42=25=5
👉 Hiểu trực quan: Vector [3,4] chính là đường chéo của tam giác vuông có cạnh 3 và 4, nên chiều dài là 5 — đúng theo định lý Pythagoras.
📘 Trong machine learning:
- Chiều dài vector cho biết mức độ mạnh/yếu của tín hiệu.
- Khi chuẩn hóa dữ liệu (normalization), ta chia mỗi vector cho độ dài của nó để biến nó thành vector đơn vị: $\hat{v} = \frac{v}{∥ v ∥}$
  → Lúc này, $∥ \hat{v} ∥ = 1$ , dùng để so sánh hướng thay vì độ lớn.
Inner Product (Tích chấm / Dot Product / Tích vô hướng)
Tích vô hướng của hai vectơ là một phép toán đại số cho ra một số vô hướng. Nó có thể được tính bằng công thức dựa trên độ dài của hai vectơ và cosin của góc giữa chúng, hoặc bằng tổng các tích các thành phần tọa độ tương ứng của chúng. Tích vô hướng cho biết mức độ hai vectơ cùng hướng, ngược hướng hay vuông góc với nhau.
Với hai vector cùng chiều: $a = [a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}]$
$b = [b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n}]$

Tích vô hướng được tính như sau: $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}$
💡 Ví dụ:
$a = [1, 2, 3], b = [4, - 5, 6]$
$a \cdot b = (1) (4) + (2) (- 5) + (3) (6) = 4 - 10 + 18 = 12$

Video: Kích thước và tích vô hướng

Áp dụng tích vô hướng của 1 vector vào miền không gian Euclide (không gian 2 chiều), trong video này chúng ta sẽ tìm hiểu về 2 khái niệm: Cosine (hay còn gọi là cos, một khái niệm rất thông dụng trong toán học lượng giác ở cấp 3) và dot product (công thức tính tích vô hướng trong miền không gian Euclide).
📐 Ý nghĩa hình học:
Dot product có thể viết lại thành:

a \cdot b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ \cos (θ)

Trong đó:

θ là góc giữa hai vector.
Nếu:
- θ=0° → vectors cùng hướng → dot product dương.
- θ=90° → vectors vuông góc → dot product = 0.
- θ=180° → vectors ngược hướng → dot product âm.

👉 Vậy dot product đo mức độ “cùng hướng” giữa hai vector.

Video: Cosine và dot product

Hình chiếu vectơ của một vector s lên một vectơ khác không r, còn gọi là thành phần vectơ của s theo phương của r) là hình chiếu trực giao (vuông góc) của s lên một đường thẳng song song với r.

🎯 Trực quan: “Hình chiếu vector” nghĩa là gì?

Giả sử có hai vector:

𝑠 → vector cần chiếu
𝑟 → vector làm hướng chiếu

Hình chiếu của 𝑠 lên 𝑟 chính là bóng của 𝑠 nếu ta “rọi đèn” vuông góc xuống đường thẳng có hướng 𝑟.

👉 Nói cách khác, đó là phần của 𝑠 nằm theo hướng của 𝑟.

Độ dài của hình chiếu (scalar projection): ${proj}_{r} (s) = \frac{s \cdot r}{∥ r ∥}$
Vector hình chiếu (vector projection): ${Proj}_{r} (s) = \frac{s \cdot r}{∥ r ∥^{2}} r$

💡 Ví dụ cụ thể:

Cho:

r = [3, - 4, 0]

s = [10, 5, - 6]

Tính tích vô hướng (dot product) s * r: $s \cdot r = 10 (3) + 5 (- 4) + (- 6) (0)$
$= 30 - 20 + 0 = 10$
Tính độ dài của r: $∥ r ∥ = \sqrt{3^{2} + (- 4)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
Phép chiếu vô hướng của vector 𝑠 lên 𝑟: ${proj}_{r} (s) = \frac{10}{5} = 2$
Vector hình chiếu: ${proj}_{r} (s) = \frac{10}{25} [3, - 4, 0] = \frac{2}{5} [3, - 4, 0]$
$= [\frac{6}{5}, - \frac{8}{5}, 0] = [1.2, - 1.6, 0]$

Video tiếp theo sẽ trình bày kỹ hơn cho bạn về ý nghĩa và công thức tính toán phép chiếu.

Video: Phép chiếu vector

Hệ tọa độ cơ sở

Bây giờ, cho đến nay, chúng ta vẫn chưa thực sự nói về hệ tọa độ của không gian vectơ của chúng ta, tọa độ mà tất cả các vectơ của chúng ta tồn tại. Vì vậy, trong video này, chúng ta sẽ xem xét ý nghĩa của một hệ tọa độ, và sau đó chúng ta sẽ thực hiện một vài trường hợp dịch chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác

Video: Dịch chuyển hệ tọa độ cơ sở

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu về 2 khái niệm cơ bản của một hệ tọa độ cơ sở:

Hệ cơ sở, gồm tổ hợp n vectors độc lập tuyến tính với nhau. Hiểu một cách đơn giản hơn, n vectors độc lập tuyến tính với nhau trong một miền không gian có nghĩa là chúng ta không thể biểu diễn 1 vectors bằng tổ hợp tuyến tính của n-1 vectors còn lại trong miền không gian này.

Không gian tuyến tính, là các tổ hợp khác nhau của n vectors bên trong hệ cơ sở.

Video: Basics (hệ cơ sở), miền không gian và độc lập tuyến tính

TỔNG KẾT

Sau bài viết này, bạn đã nắm được:

Các khái niệm cơ bản của Đại số tuyến tính.
Tìm hiểu bài toán dữ liệu, rằng thế giới của chúng ta có quá nhiều dữ liệu và sau đó nếu chúng ta có thể tìm ra cách phân tích và sử dụng nó và giải quyết các vấn đề trên thế giới.
Cách đại số tuyến tính giúp chúng ta tiếp cận thế giới của machine learning và khoa học dữ liệu.
Xét một số bài toán ví dụ, bài toán giải hệ phương trình như tìm giá của những đồ vật trong bài toán táo và chuối, bài toán đưa vào một phương trình mô hình với một số tham số phù hợp mà chúng ta muốn, để tối ưu hóa so với một số dữ liệu.

Nguồn: Funix, Imperial College, AI (ChatGPT)