Đại số tuyến tính - Ma trận

Ở bài trước, chúng ta đang tìm cách giải quyết vấn đề táo và chuối. Làm thế nào để tìm ra giá của sự vật khi chúng ta chỉ có tổng hóa đơn. Chúng ta đã đi qua vector, và bây giờ sẽ xem xét đến các ma trận. 

Hiểu một cách đơn giản, ma trận là một mảng chữ nhật - gồm các số được sắp xếp theo hàng và cột, và từng ô trong ma trận được gọi là các phần tử. 

Ngoài ra, chúng ta cũng sẽ tiếp cận với bài toán giải hệ phương trình. Ma trận chính là chìa khóa chính để giải quyết bài toán này.

• Cộng / Trừ ma trận

  • Chỉ thực hiện được nếu cùng kích thước.
  • Cộng/Trừ từng phần tử cùng chỉ số. $$(A\pm B{)}_{ij}=A_{ij}\pm B_{ij}$$
  Ví dụ: $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$$
  $$A+B=\left[\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$$
  $$A-B=\left[\begin{array}{cc}1-5& 2-6\\ 3-7& 4-8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-4& -4\\ -4& -4\end{array}\right]$$

• Nhân ma trận

  • Nếu 𝐴 là $m\times p$ và 𝐵 là $p\times n$thì 𝐴𝐵 tồn tại và là $m\times \mathrm{n<br>}$
  • Công thức hàng × cột: $(AB{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^p{A}_{ik}{B}_{kj}$
  Ví dụ:  $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$$ Tính 𝐴𝐵:
  $$(AB{)}_{11}=1\cdot 2+2\cdot 1=4$$
  $$(AB{)}_{12}=1\cdot 0+2\cdot 3=6$$
  $$(AB{)}_{21}=3\cdot 2+4\cdot 1=10$$
  $$(AB{)}_{22}=3\cdot 0+4\cdot 3=12$$
  $$\to AB=\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right]$$
  Lưu ý: phép nhân ma trận không giao hoán: $AB\mathrm{\ne }BA$

• Nhân ma trận với scalar

  Nhân từng phần tử với số vô hướng  $k$: $k\mathrm{A<br>}$
  Ví dụ: $2A=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]$

Trước hết, chúng ta sẽ xem xét cách sử dụng ma trận làm công cụ để giải quyết các bài toán đại số tuyến tính và biến đổi vector thông qua các phép biến đổi dành cho ma trận.

📘Cách hiểu trực quan:

• Có thể coi phép nhân ma trận là phép nhân tổng vector của các vector cơ sở đã biến đổi.
• Ma trận [A] cho chúng ta biết các vector cơ sở đi đâu.

Chúng ta sẽ học về các phép biến đổi cơ bản trong ma trận: Xoay, đối xứng, phép nhân.

Trong hình học, một vector $\mathbf{v}=[x,y{]}^T$ là một điểm hoặc mũi tên trong mặt phẳng.

Một ma trận $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ khi nhân với vector $\mathbf{v}$, sẽ biến đổi nó: $${\mathbf{v}}^{\mathrm{\prime }}=A\mathbf{v}$$

→ nghĩa là ma trận thay đổi vị trí, hướng, hoặc độ dài của vector. Đây chính là cách mô tả các phép xoay, phóng to, co lại, phản chiếu (đối xứng), v.v.

Phép nhân ma trận chỉ có tính chất kết hợp mà không có tính chất giao hoán. Chúng ta cùng tìm hiểu kỹ hơn để chứng minh và hiểu rõ được mệnh đề này trong bài học dưới đây.

Ma trận nghịch đảo của một ma trận A là ma trận B sao cho AB = I (ma trận đơn vị). A được gọi là một ma trận khả nghịch nếu A là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo B trong phép nhân ma trận. 

📘Cách hiểu trực quan:

Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A là ma trận A⁻¹ sao cho:

$$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$$

Trong đó I là ma trận đơn vị (giống như số 1 trong phép nhân thông thường).

Khi tiếp cận với hệ phương trình tuyến tính, phương pháp khử là phương pháp đầu tiên chúng ta được tiếp cận. Cùng nhau nhắc lại và tìm hiểu kỹ hơn về phương pháp này.

Chúng ta có thể áp dụng phương pháp khử để tính toán ra ma trận nghịch đảo của ma trận A.

Det (Định thức) là một hàm cho mỗi ma trận vuông A, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là det(A). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ lệ xích cho thể tích khi A được coi là một biến đổi tuyến tính. Định thức được sử dụng để giải (và biện luận) các hệ phương trình đại số tuyến tính.

Det(A) = 0 đồng nghĩa với việc A không phải là một ma trận tuyến tính, có nghĩa là nghịch đảo của ma trận A không tồn tại.

📘Cách hiểu trực quan:

Giả sử $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

thì $$\text{det}(A)=ad-bc$$

🔹 Ý nghĩa hình học:

Cùng ôn lại một số phép toán thực hiện trên vector và ma trận thông qua thư viện numpy ở bài đọc dưới đây.

Tài liệu đọc: Đại số tuyến tính - deepai-book

Chú ý: Ở phần code có 2 option là pytorch và numpy, các bạn click vào option "numpy" để xem qua các đoạn code mẫu bằng numpy trước.