Phân phối xác suất

Bài học giải thích khái niệm biến ngẫu nhiên chính là đầu ra của một phép thử ngẫu nhiên, các biến này có thể có giá trị số hoặc không, từ đó phân loại thành biến ngẫu nhiên rời rạc (biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một tập hữu hạn hoặc đếm được) và biến ngẫu nhiên liên tục (biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập vô hạn, thường có dạng (a,b hay a.b)).

👉 Biến ngẫu nhiên dùng để chuyển kết quả “chữ” thành số để dễ tính toán.

📌 Ví dụ: Tung đồng xu

Không gian mẫu:  $\Omega = \{Ngửa, Sấp\}$

🔎 Phân loại biến ngẫu nhiên

Loại	Đặc điểm	Ví dụ
Rời rạc	Đếm được	Số mặt ngửa, số lỗi
Liên tục	Nhận vô hạn giá trị	Chiều cao, thời gian

Bài học cũng minh họa việc tổng hợp mỗi loại biến ngẫu nhiên: 

• Biến ngẫu nhiên rời rạc: nên dùng bảng phân bố xác suất (liệt kê các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X và các xác suất tương ứng) với chú ý:
  $$\sum P(X=x_i) = 1$$
• Biến ngẫu nhiên liên tục: nên dùng hàm mật độ f(x) với chú ý: 
  $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$$ và $$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$$

Biến ngẫu nhiên và Phân phối xác suất

Bài học cung cấp cho bạn đặc trưng thứ nhất của một biến ngẫu nhiên, đó là hàm phân phối tích lũy F(x):

• Biến ngẫu nhiên rời rạc:  $$\boxed{F(x) = P(X \le x)}$$
• Biến ngẫu nhiên liên tục:  $$\boxed{F(x) = P(X \le x)}$$

đó chính là tổng số phần trăm giá trị dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng giá trị a cho trước nào đó.

Bài học chỉ ra rằng bạn có thể mô tả hàm số này bằng bảng, đồ thị hoặc phương trình. Hơn thế nữa, thông qua một ví dụ cụ thể, bài học còn chỉ ra rằng:  dựa vào hàm phân phối tích lũy bạn cũng tìm được một cách dễ dàng các đại lượng đặc trưng như trung vị và các tứ phân vị của dữ liệu.

Tính xác suất nhờ CDF

$$\boxed{P(a < X \le b) = F(b) - F(a)}$$

$$$$

Đặc trưng thứ hai của một biến ngẫu nhiên, đó là giá trị trung bình:

🔹 Công thức

• Biến ngẫu nhiên rời rạc:  $$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i)$$
• Biến ngẫu nhiên liên tục:  $$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,dx$$

🎯 Ví dụ rời rạc

Tung 1 xúc xắc công bằng

X	1	2	3	4	5	6
P(X)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

$\mathrm{<br>}$

$$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$$

Ngoài ra, thông qua một ví dụ cụ thể, bài học còn chỉ ra cách tính giá trị trung bình khi ta cộng các biến ngẫu nhiên:

$$E(aX+b)=a^{}E(X)+b$$
$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

Trung bình của biến ngẫu nhiên

Đặc trưng thứ ba của một biến ngẫu nhiên, đó là phương sai V(X) và độ lệch chuẩn (căn của phương sai):

$$Var(X)=E[(X-E(X){)}^2]=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

Từ đó, áp dụng công thức tính giá trị trung bình, bài học chỉ ra công thức cụ thể để tính phương sai của từng loại biến ngẫu nhiên 

• Biến ngẫu nhiên rời rạc: 
  $$Var(X)=\sum x_i^{2}P(X=x_i)-[E(X){]}^2$$
• Biến ngẫu nhiên liên tục: 
  $$Var(X)=\int x^{2}f(x)dx-[E(X){]}^2$$

Ta đã có: $E(X)=3.5$

$$E(X^2)=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{91}{6}$$
$$Var(X)=\frac{91}{6}-(3.5{)}^2=\frac{35}{12}$$

Ngoài ra, bài học cung cấp cho bạn công thức tính phương sai khi cộng các biến ngẫu nhiên độc lập:

$$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$$
$$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$$

Thông qua việc biểu diễn các phân phối có thể của một biến ngẫu nhiên, bài học chỉ ra rằng một trong các phân phối thường gặp nhất là phân phối chuẩn.

Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn

hàm mật độ có dạng hình chuông và đối xứng với nhau qua giá trị trung bình 𝜇, cụ thể:

$$\boxed{{\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})}}$$

Hàm số này được đặc trưng bới hai tham số: giá trị trung bình 𝜇 và độ lệch chuẩn 𝜎. Điểm phân phối cao nhất đạt được ở 𝜇 và chiều rộng của phân phối được xác định bởi 𝜎. Và do tổng diện tích hình bên dưới hàm mật độ và bên trên trục Ox bằng 1 không thay đổi, đường cong càng rộng thì đỉnh của nó càng thấp:

Bài học cung cấp cách tính xác suất của một biến ngẫu nhiên mang phân phối chuẩn bằng cách sử dụng hàm mật độ:

$$\boxed{{\displaystyle P(a\le X\le b)={\int }_a^b\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx}}$$

hoặc dựa vào giá trị của hàm phân phối tích lũy:  $$\boxed{F(x) = P(X \le x)}$$

Tuy nhiên, bạn sẽ gặp khó khăn hơn nếu tính bằng cách dùng hàm mật độ vì chúng ta không tìm được nguyên hàm của hàm này để tính giá trị của tích phân. Bài học sau sẽ chỉ cho bạn cách xác định xác suất theo công thức này.

Xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

3.2 Phân phối chuẩn tắc

Trong bài học này, bạn đã được học về Phân phối xác suất:

• Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc, phân phối xác suất được gọi là hàm khối xác suất, cho xác suất, trong khi đối với biến ngẫu nhiên liên tục, phân phối xác suất được gọi là hàm mật độ xác suất, cho xác suất trên một đơn vị của biến ngẫu nhiên.
• Khi phân phối xác suất được xác định, bạn có thể tính toán các thống kê đặc trưng như giá trị trung bình và độ lệch chuẩn cho một biến ngẫu nhiên, ngay cả khi bạn không có các quan sát thực tế cho biến đó.
• Dạng hàm của phân phối chuẩn và vai trò của hai tham số trong việc xác định vị trí (giá trị trung bình) và mức chênh lệch (độ lệch chuẩn) của phân phối. Ngoài ra, chúng ta có thể áp dụng phép biến đổi z cho một biến phân phối chuẩn. Do đó, có thể được thực hiện các báo cáo xác suất với bất kỳ giá trị nào của biến ngẫu nhiên trên cơ sở kết quả điểm số z.
• Phân phối xác suất nhị thức cũng được giới thiệu với chỉ hai kết quả xung khắc và xác suất p cố định để thu được một trong hai kết quả (phép thử Bernoulli).