Xác suất

Trong bài học này, bạn sẽ được giới thiệu các khái niệm từ lý thuyết xác suất đến các quy tắc tính xác suất. Điều này không chỉ hữu ích để trả lời các loại câu hỏi thống kê ứng dụng khác nhau mà còn để hiểu các phân tích thống kê sẽ được giới thiệu trong các phần tiếp theo. Bạn sẽ mô tả sự ngẫu nhiên và giải thích các sự kiện ngẫu nhiên xung quanh chúng ta. Tiếp theo, chúng tôi cung cấp một định nghĩa trực quan về xác suất thông qua một ví dụ và liên hệ điều này với các khái niệm về biến cố, không gian mẫu và phép thử ngẫu nhiên.

Mục Tiêu

Giải thích các khái niệm lý thuyết xác suất và các quy tắc tính xác suất.
Mô tả sự ngẫu nhiên và giải thích các sự kiện ngẫu nhiên xung quanh chúng ta.
Định nghĩa xác suất thông qua một ví dụ và liên hệ điều này với các khái niệm về biến cố, không gian mẫu và phép thử ngẫu nhiên.
Giải thích xác suất có điều kiện, tính độc lập và định lý Bayes.

Nội Dung

1. Tính ngẫu nhiên và xác suất

1.1 Tính ngẫu nhiên

Trong cuộc sống luôn tồn tại những hiện tượng được gọi là "ngẫu nhiên" (những hiện tượng xảy ra tùy lúc và không thể dự đoán trước được một cách chính xác) như số người sinh ra trong một ngày trên thế giới, số ngày nắng, số ngày mưa trong một năm,..., và con người cũng luôn có mong muốn hiểu nhiều hơn về các hiện tượng này.

Bài học đưa ra ví dụ cụ thể để bạn giải thích được bản chất của ngẫu nhiên.

Ngẫu nhiên không phải bản chất nội tại của sự vật hiện tượng mà nó phụ thuộc vào chính bạn (cụ thể là kiến thức chủ quan, phương pháp quan sát, và thang đo bạn dùng để xem xét hiện tượng).

Tính ngẫu nhiên

1.2. Xác suất

Mặc dù sự ngẫu nhiên ở khắp mọi nơi xung quanh chúng ta, nhưng con người vẫn chưa thực sự đánh giá tốt về nó. Một khi chúng ta hiểu được tính ngẫu nhiên, chúng ta có thể xác định được xác suất như một cách để định lượng sự ngẫu nhiên đó.

Thông qua các thí nghiệm độc lập ghi lại tần suất tương đối mà các hiện tượng bạn đang quan tâm xảy ra, bài học cung cấp cho bạn một cách đơn giản nhất để tính được xác suất, đó là:

P=(số lần hiện tượng bạn quan tâm xảy ra) / (tổng số phần tử bạn quan sát)

Từ đó, bạn thấy được 2 tính chất cơ bản của xác suất, khi chúng ta nghiên cứu các hiện tượng xảy ra khi thực hiện một thí nghiệm:

0 \le P(A) \le 1

Với mọi biến cố (sự kiện) 𝐴:

$P(A) = 0$ : biến cố không thể xảy ra
$P(A) = 1$ : biến cố chắc chắn xảy ra
$0 < P(A) < 1$ : biến cố có thể xảy ra, nhưng không chắc chắn

\sum P(\text{các biến cố}) = 1

Nếu ta liệt kê tất cả các khả năng có thể xảy ra của một thí nghiệm (các biến cố xung khắc và đầy đủ), thì tổng xác suất của chúng bằng 1.

Nói cách khác: Xác suất của “toàn bộ không gian mẫu” luôn bằng 1.

Ví dụ:

Tung một con xúc xắc:

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)

= \frac{1}{6} \times 6 = 1

Hoặc tung đồng xu:

P(\text{Ngửa}) + P(\text{Sấp}) = 0.5 + 0.5 = 1

Do bản bất của tính ngẫu nhiên, các thí nghiệm có thể phải lặp đi lặp lại nhiều lần trước khi tần số tương đối (tần suất) đại diện cho xác suất một cách chính xác nhất.

Xác suất

2. Một số khái niệm cơ bản của xác suất

Chúng ta biết rằng nếu muốn tìm hiểu về một hiện tượng ngẫu nhiên, chúng ta phải thu thập các quan sát hoặc tiến hành một thí nghiệm để tìm ra quy luật xác suất của hiện tượng đó.

Bài học này trình bày một vài thuật ngữ liên quan đến xác suất, ví dụ biến cố, không gian mẫu, xác suất của một biến cố, biểu đồ cây.

Từ đó bạn hình dung một cách dễ dàng hơn về xác suất:

Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm tất cả khả năng có thể xảy ra khi tiến hành thí nghiệm.
Biến cố A là hiện tượng mà chúng ta quan tâm, A chính là một tập con của không gian mẫu.
Xác suất xảy ra biến cố A: $\boxed{P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}}$

- Phép thử ngẫu nhiên hay phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát nào đó mà ta biết tất cả các kết quả có khả năng xảy ra. Tuy nhiên ta không biết kết quả nào có thể xảy ra trước khi thực hiện thí nghiệm hay quan sát đó.

- Kết quả của một trường hợp xét trong phép thử gọi là biến cố.

-Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu và được ký hiệu là Ω.

- Công thức tính xác suất hoặc gọi là công thức tính xác suất theo cổ điển.Với |A| số trường hợp thuận lợi cho biến cố A và Ω tổng số trường hợp có thể xảy ra trong phép thử.

Và như vậy việc bạn có thể miêu tả được đầy đủ không gian mẫu cũng như biến cố bạn quan tâm là một điều hết sức quan trọng. Bài học giúp bạn giải quyết vấn đề này thông qua việc giới thiệu biểu đồ cây để miêu tả một cách rõ ràng và đầy đủ không gian mẫu và biến cố A

Biến cố, không gian mẫu, xác suất của một biến cố và biểu đồ cây

Bạn có thể sử dụng biểu đồ cây để miêu tả các biến cố và không gian mẫu.

Bài học này cung cấp một ví dụ cụ thể cho việc sử dụng biểu đồ cây để tính xác suất của một biến cố. Từ đó giúp bạn:

Biết cách xây dựng biểu đồ cây mô tả một thí nghiệm.
Sử dụng được biểu đồ cây để tìm ra số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của biến cố A.

Bài học cũng chỉ ra nhược điểm của biểu đồ cây là khó để miêu tả cho trường hợp không gian mẫu quá lớn, từ đó đặt ra cho bạn nhu cầu về các quy tắc tính xác suất đối với những bài toán có độ phức tạp cao hơn.

Tính toán xác suất bằng sơ đồ cây

3. Xác suất & Tập hợp

3.1 Nhắc lại về lý thuyết tập hợp

"Làm thế nào để tính được xác suất trong các trường hợp phức tạp". Bạn không thể dùng biểu đồ cây trong trường hợp này, vì thế chúng ta quay lại phân tích từ những định nghĩa ban đầu của xác suất.

Chúng ta có thể xem xét một không gian mẫu như một tập hợp và các biến cố như một tập con của không gian mẫu. Chính vì thế chúng ta có thể dùng lý thuyết tập hợp để miêu tả không gian mẫu cũng như mối quan hệ giữa các biến cố.

Bài học này cung cấp cho các bạn các khái niệm cơ bản của lý thuyết tập hợp: biểu đồ Venn, hai tập hợp rời nhau (hay xung khắc nhau); hai tập hợp bù nhau, thế nào là vét cạn không gian mẫu, thế nào là giao của hai tập hợp.

Từ đó bài học dẫn dắt sang các khái niệm trong xác suất, để thấy được

0 \le P(A) \le 1

=> Tổng xác suất của các biến cố đơn vét cạn không gian mẫu phải bằng 1

Biến cố đối

\bar A

là biến cố xảy ra nếu như A không xảy ra, tức là:

\bar A \cup A = \Omega

và

\bar A \cup A = \Omega

Khi đó, dựa vào tính chất của phần bù trong lý thuyết tập hợp bạn có quy tắc phần bù trong xác suất:

\boxed{P(\bar A) = 1 - P(A)}

📌Ví dụ: Xác suất hôm nay mưa là 0.3 => Xác suất không mưa: 1−0.3=0.7

Công thức này rất hay được sử dụng khi gặp biến cố có dạng:

X \ge a

hoặc

X \le a

Dựa vào tính chất của tập

A \cap B

, bạn cũng định nghĩa được xác suất của biến cố giao

A \cap B

(là biến cố xảy ra nếu biến cố A và biến cố B đồng thời xảy ra) và quy tắc nhân cơ bản của xác suất:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

nếu A và B là hai biến cố độc lập (xác suất thu được B không bị ảnh hưởng bởi lần trước đó có thu được A hay không - sẽ được học cụ thể trong bài học tiếp theo).

Nhắc lại về lý thuyết tập hợp

3.2 Ví dụ

Chúng ta từng bước thực hành tính xác suất cho các biến cố phức tạp hơn như:

A \cap B

;

P (\overset{ˉ}{A})

thông qua những ví dụ cụ thể, dựa trên những công thức đã được cung cấp từ bài học trước, từ đó làm nền tảng để bạn có thể tính được các xác suất của các biến cố tương tự trong thực tế.

Ví dụ minh họa

3.3 Biến cố hợp

Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hợp hai tập hợp để xây dựng biến cố hợp

A \cup B

(là biến cố xảy ra nếu một trong hai biến cố hoặc cả 2 biến cố A và B cùng xảy ra) và xây dựng được quy tắc cộng xác suất trong trường hợp tổng quát:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Hơn thế nữa, bài học cung cấp cho bạn những ví dụ cụ thể minh họa cho quy tắc này giúp bạn hiểu rõ hơn về biến cố hợp và cách sử dụng quy tắc này.

Biến cố hợp

4. Xác suất có điều kiện & Tính độc lập

4.1 Xác suất hợp và Xác suất biên

Như chúng ta đã biết, một đối tượng luôn tồn tại với nhiều đặc trưng khác nhau. Trong bài học này, thông qua một ví dụ cụ thể về các du khách trên bãi biển được đặc trưng bới giới tính và hoạt động của họ. Từ đó dẫn đến việc tổng hợp dữ liệu thành một bảng 2 chiều. Khi đó bạn sẽ dùng đại lượng nào để phân tích cụ thể về sự phụ thuộc giữa các đặc trưng này?

Bài học cho bạn các khái niệm xác suất có thể dùng trong trường hợp này:

Xác suất hợp: xác suất của biến cố tạo thành khi cả 2 đặc trưng cùng xảy ra (giao của 2 đặc trưng)
Xác suất biên: xác suất kết quả của từng đặc trưng riêng lẻ

Đồng thời bài học cũng chỉ ra tính chất của chúng:

Tổng các xác suất hợp trên bằng xác suất biên trên hàng đó
Tổng các xác suất biên của cùng 1 đặc trưng phải bằng 1

Xác suất hợp và Xác suất biên

4.2 Xác suất có điều kiện

Bạn đã được học quy tắc nhân để tính xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra nếu A và B là hai biến cố độc lập. Thế nhưng trong thực tế bạn lại hay gặp những biến cố phụ thuộc hơn (kết quả xảy ra biến cố B phụ thuộc vào phép thử trước đó có thu được biến cố A không).

Trong bài học này, chúng ta tiếp tục sử dụng ví dụ về các du khách trên bãi biển để minh họa cho việc chọn các hoạt động trên bãi biển phụ thuộc vào giới tính của du khách. Từ đó xây dựng khái niệm xác suất có điều kiện:

\boxed{P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

là xác suất xảy ra biến cố A với điều kiện trước đó biến cố B đã xảy ra.

📘Ý nghĩa công thức:

Mẫu số $P(B)$ : ta chỉ xét những trường hợp B đã xảy ra
Tử số $P(A \cap B)$ : trong số đó, bao nhiêu trường hợp A cũng xảy ra

Và hệ quả là quy tắc nhân trong trường hợp tổng quát:

\boxed{P(A \cap B) = P(A \mid B)\,P(B)}

Xác suất có điều kiện

Ví dụ rất trực quan (bảng 2 chiều)

Giả sử có 100 du khách ở bãi biển:

	Bơi	Không bơi	Tổng
Nam	30	20	50
Nữ	25	25	50
Tổng	55	45	100

📌Ví dụ 1: P(Bơi∣Nam)
👉 Nghĩa là:
Biết người được chọn là Nam, xác suất người đó Bơi là bao nhiêu?

Trong 50 người Nam
Có 30 người Bơi

P(\text{Bơi} \mid \text{Nam}) = \frac{30}{50} = 0.6

📌Ví dụ 2: P(Nam∣Bơi)👉 Nghĩa là:Biết người được chọn Bơi, xác suất người đó là Nam?

Trong 55 người Bơi
Có 30 người Nam

P(\text{Bơi} \mid \text{Nam}) = \frac{30}{55} = 0.545454

Tổng Kết

Trong bài viết này, bạn đã được giới thiệu các khái niệm từ lý thuyết xác suất và các quy tắc để tính xác suất, mô tả tính ngẫu nhiên và giải thích các sự kiện ngẫu nhiên xung quanh chúng ta. Bạn cũng đã được cung cấp một định nghĩa trực quan về xác suất. Phần cuối của bài học là giải thích về xác suất có điều kiện, tính độc lập và định lý Bayes. Nói chung, đây là một phần lý thuyết về một chủ đề không hoàn toàn dễ nắm bắt. Đó là lý do tại sao chúng tôi đã đưa vào càng nhiều ví dụ trực quan càng tốt.

Xác suất và Ngẫu nhiên
Không gian mẫu, biến cố và biểu đồ cây
Xác suất và tập hợp

Nguồn: Funix, University Of Amsterdam, AI (ChatGPT)